学霸就是要肝 第283章 黎曼定理和萧氏猜想

第283章 黎曼定理和萧氏猜想

第283章 黎曼定理和萧氏猜想

【定理7.3：设f是一个n维Siegel模形式，X_f^(n)是相应的广义模曲线。那么存在一个自然的Galois表示:ρ_f: Gal(Q/Q)→ GL_n(Z_)，使得对于任意素数p，Frobenius元Frob_p在ρ_f下的特征多项式等于X_f^(n)在p处的Zeta函数ζ(X_f^(n)，T)……】

萧易的办公室中，他正在草稿纸上面写下关于阿廷猜想证明的最后几步。

“嗯，这个定理就成功建立了广义模曲线的几何性质与Galois表示的算术性质之间的联系。”

“有了这个结果，我总算是可以将阿廷猜想转化为关于Galois表示的一个问题了。”

“那么，这个Galois表示下的阿廷猜想就是……”

【定理7.4：设E是一个椭圆曲线，L(s，E)是它的Hasse-Weil L-函数。那么以下两个条件等价:(1) L(s，E)是整个复平面上的全纯函数，并满足一个函数方程；(2)存在一个模形式f，使得E的Galois表示ρ_E与ρ_f同构。】

萧易的嘴角微微一翘，就仿佛一切尽在他的掌握之中。

到了这一步，他就成功地将阿廷猜想转化为了另外一种形式下的问题。

绝大多数的猜想证明，也基本上都不外如是。

数学家们所需要证明的最终形式，往往都和原来的问题陈述大相径庭，但是，通过对各种数学关系之间的抽丝剥茧，就能够在这个最终形式和猜想本身的描述之间，划上代表了等价关系的符号。

至于问题原来本身的描述，更多也都是为了方便人们的理解。

就比如其他的各种问题，像是冰雹猜想这样，它的描述看起来十分的简单，但是最终证明出来的形式，就并不是本身的那样，而是一个相当复杂的式子。

包括像是安德鲁·怀尔斯所证明的费马大定理，最终的形式也是截然不同的。

因此，随着萧易现在将阿廷猜想进行了转变之后，他只需要证明每个椭圆曲线的Galois表示都来自一个模形式就行了。

“那么，定理7.5，对于任意的椭圆曲线E，存在一个广义模曲线X和一个闭嵌入i: E→ X，使得i诱导了Galois表示之间的同构:ρ_Eρ_Xi_*。”

这个定理7.5，就是他最后一个需要完成证明的问题了。

同样的，在这里也并没有对他造成任何困难，仅仅只是略微思索了一下，然后，他就彻底完成了自己的结果。

“那么，由定理7.3，我们知道ρ_X来自一个Siegel模形式f，即ρ_Xρ_f。”

“结合这两个结果，我们就有：ρ_Eρ_X i_*ρ_f i_*。”

“这表明ρ_E也来自一个模形式，即f的“拉回“。”

“由定理7.4，这意味着L(s，E)是整的并满足函数方程。”

“综上所述，阿廷猜想是成立的。”

【证毕。】

在草稿纸上写下了这最后的两个字，萧易也微微一笑。

历经了如今之久的时间，终于，这个阿廷猜想被他成功破解了。

如此一来，他也算是距离黎曼猜想，真正地又近了一步。

不过，在此之前，他还需要根据他现在的结果，导出阿廷猜想的结果中，那个让每个有限维复表示ρ和它们的L-函数相等的自守表示π，到底是什么样子的。

只有得到了这个式子，他才能够借此开始尝试证明黎曼猜想。

很快，他就成功地将这个全新的自守表示π给推导了出来。

“于是，我们就得到了一个函数方程。”

【L(ρ_X，s)=ε(ρ_X，s) L(ρ_X^∨，k-s)】

萧易开始观察这个方程。

这就是阿廷猜想最重要的结果。

就是这个函数方程，使得阿廷猜想所预言的：每个有限维复表示ρ:Gal(K/k)→GL(n，C)都应该对应于一个自守表示π，使得它们的L-函数相等:L(s，ρ)=L(s，π)，成立了。

通过这个结果，甚至也完全能够去研究函子性猜想了。

当然，现在萧易的研究重点也并不是函子性猜想。

现在，他要看的是，要如何将这个式子，和黎曼猜想联系上。

很快，他就是微微一笑，手中的笔也再次动了起来。

既然都已经到这一步了，阿廷猜想也都已然被他所证明，接下来的难度，已经不能再将他难到哪里呢。

尽管接下来仍然要处理相当复杂的一系列推导，或许也需要很长的时间，不过可以肯定的是，对于他来说，已然不再困难。

……

时间再度飞转而去。

大概一个月过去了。

这一个月的时间，世界仍然是该怎么样就怎么样，没有发生任何的变化。

当然，对于华国来说，大概比较重要的就是，又建成了几座核聚变发电站，并且都已经投入运行了。

随着初期时间的过去，接下来，也确实是迎来核聚变发电站下饺子的时间段了。

那些核心经济区，基本上都已经用上了来自核聚变的电，连带着让大A都迎来了一次盛大的牛市，几乎是从今年开年之后，这个牛市就没有停下来过。

一开始的时候，股民们都还有点不相信，毕竟回想起上一次的牛市，还是在2024年的时候，那旺盛了几天的牛市，随后就给疯狂的股民们造成了狠狠地一次重击。

只不过，当这一次的牛市连续涨了一个周后，他们就开始将信将疑了，而连续涨了半个月后，他们就不得不尝试性地往里面开始投入了。

直到连续涨一个月之后，终于，股民们又一次陷入了疯狂之中。

而到现在，股市也仍然还在上涨着，几乎都没有停下来过。

大盘都已经来到了史无前例的9500，早就已经超过了当年在2007年创下的6124点二分之一还多，距离突破10000都已经是指日可待。

这主要也是因为，核聚变能源让众多公司的经营成本全部都下调了不少，特别是对于那些实业公司来说，更是如此，要知道的是，华国的实业公司本身就是最多，华国向来也重视实业经济的发展，从来都没有像是西方那些国家那样，大力发展金融经济，而忽视了实业经济的发展，特别是在工业上面。

华国的工业，可谓是核聚变实现之后的最大受益者。

至于质数先锋计划的数学家们，则仍然头痛于，他们到底要选择什么方向，针对这个问题，他们在一开始甚至还产生了不少的分歧，而这些分歧，也让他们作出决定，先分成几个队伍，各自从不同的方向进行研究，然后再定期交流成果，接着又根据这些成果，来判断哪个方向更加有机会。

基于这种方式下，他们也算是取得了一些成果。

比如那些想要继续发展临界线定理的数学家们，继续根据临界线定理往下研究，如今也成功拿出了一个比当初萧易给出的62.5%更高的数字，66.67%，也就是差不多三分之二。

但是，同样的道理，三分之二，距离最终的答案，看上去已经十分接近了，但实则不然，仍然有着犹如天堑般的距离。

甚至他们现在的成果，都只能说是继续在当初萧易的那个成果基础上发展出来的，并不能说取得非常值得庆贺的成果。

至于其他方向的数学家们，也或多或少地都得到了一定的突破，只是这些突破，都不能称得上多少，如果要**文的话，恐怕都不一定够得上一区——大概或许凭借他们一众大佬的名气，编辑们看在他们面子上面，或许也会同意将他们的这些论文发在一区上面。

不过，对于这些数学界的大牛们，他们基本上也丢不起这个脸，所以最后就创建了一个网站，就叫做质数先锋计划，然后将他们的这些成果都直接公布在这个网站上面，让人们能够看见他们都已经做到哪里了。当然，也正因为此，所以也使得那些媒体们整天都在说，萧易没有像他们一样，将自己的研究进展公布出来，以此来嘲讽萧易没有任何进展，或者说他因为担心自己失败，所以就不公布自己的研究成果，然后不断地拾人牙慧。

虽然他们的这些嘲讽，萧易基本上都没有看到过，就算是看到了，也都没有在意过。

就这样，时间来到了7月15日这一天的凌晨。

……

【对于任意的CM椭圆曲线E，存在一个广义模曲线X和一个嵌入i: E→ X，使得i诱导了Hecke特征之间的同构:λ_Eλ_X i_*，其中λ_X是X的Hecke特征，i_*是由i诱导的Galois群之间的同态。】

【因此，代入定理8.9和定理9.1，我们可以确定，L(s，E)的所有零点都位于直线Re(s)=1/2上。】

【所以，ζ(s)的所有非平凡零点也位于直线Re(s)=1/2上。】

【综上所述，黎曼猜想，成立。】

最终的证明，完毕。

萧易手中的笔，也在此刻停止在了最后的句号上的停笔处，久久没有离去，仿佛凝结了时间的流逝。

黎曼猜想。

黎曼猜想。

黎曼猜想。

黎曼定理！

……

任何著名的数学猜想，都拥有着不同的历史。

但是没有任何猜想，会像是黎曼猜想这样，拥有着如此非凡的地位。

而在此时此刻，历史与现在发生了交汇，过去无数的数学家为之奋斗，为之付出，为之倾尽毕生心血的问题，就这样在他的笔下，迎来了终结。

脑海中仿佛掠过了无数的画面。

波恩哈德·黎曼在自己的办公室中，为了表示自己对成为柏林科学院院士这一崇高荣誉的回报，他写下了那封名为《论小于给定数值的素数个数》，那时候的他，大概也没有想到，自己这篇仅仅只有短短八页的论文，就此成为了令几乎数学家们都魂牵梦绕的黎曼猜想的起点。

他仿佛还看到，一代代的数学家们，为了这个问题，前赴后继的思考、争论和探索。

无论是几千年前的欧几里得，又或者是后来的欧拉、高斯、哈代……

一直到如今，塞尔伯格、邦别里、法尔廷斯、德利涅等等的数学家们。

这些名字，成为了通往这个问题答案的引路灯，一直到现在。

名为萧易的年轻人，终于照亮了这通往真理的最后一盏灯。

手中的笔，终于不再矗立，被他轻轻地放在了一边。

起身，然后伸了一个懒腰，走到了窗子边上，拉开了窗帘。

清晨的光照射了进来。

昨天晚上，他可谓是一宿没睡。

但总算，这个夜，没有白熬。

“不过，buff等级，没有升级啊……”

对此，萧易也只能是无奈地摇摇头，到了这种程度，buff等级也没有那么好升级了。

至于有没有可能是因为他的证明是错误的，那就完全不可能了，他对自己的证明有着充足的信心。

所以，他大概还需要再解决一个差不多级别的问题，才能够让buff升级？

这个问题很快就在他的脑海中掠过，现在他已经不想再去想这些事情了。

舒展了一会儿身体后，他打了个哈欠，随后又回到了自己的座位上，重新回顾了一下之前的各种证明过程。

本来只是惯例的察看，但这一次，他却从这些证明过程发现了一个意外的点子。

“自守表示……L-函数……还有几何上的某种‘自然’对象？”

“是不是……对于每一个自守表示ρ，我们都可以构造一个数论L-函数L(s，ρ)，以及一个几何上的“自然“对象X(ρ)……”

他重新拿出了笔，然后在上面写下了一个等式，口中也喃喃道：“使得它们都满足这样一个关系式。”

【L(s，ρ)= L(s，X(ρ))】

即，ρ的L-函数等于X(ρ)的某种“自然“的L-函数。

再度放下了笔，他抱住了自己的脑袋。

如果这是成立的，那么就不得了了。

这意味着，他又在朗兰兹纲领的基础上，实现了一个大大的推广。

朗兰兹纲领预见到，每一个自守表示都应该对应于一个几何上的对象，以及一个数论中的L-函数。

而这个关系式，则进一步预见到，这个几何对象和L-函数之间应该有一个直接的等式关系。

而这样的关系，对于数学来说，有着极其重要的意义。

它提供了一个新的统一的视角，将代数、几何、分析三大数学分支联系在一起，从而能够让数学家们将代数中的问题转化为几何中的问题，或者是分析中的问题！

萧易不知道。

因为这是一个崭新的问题。

又需要一段漫长的证明过程。

但是现在的萧易，已经不想再去思考太多了。

接下来的一个周，他只想给自己放个假。

当然可以。

“至于这个新的问题，那就……”

“命名为萧氏猜想吧。”

嗯，他证明了阿廷猜想和黎曼猜想，现在就再还给数学界一个更加厉害的猜想。

……